Archive for Июнь 2010

Равномерный вариант ЦПТ

Июнь 1, 2010

Пусть X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots — одинаково распределенные независимые случайные величины, для которых выполняются такие условия:

  1. EX_i = 0,
  2. EX_i^2 = \sigma^2 > 0,
  3. EX_i^3 = \rho < \infty.

Пусть S_n := (X_1 + X_2 + \ldots + X_n) / n. Центральная предельная теорема утверждает, что функция распределения S_n \sqrt{n} / \sigma (обозначим ее F_n) поточечно сходится к функции распределения N(0, 1) (обозначим ее \Phi). Однако, если известно, что третий момент величин конечен, то можно установить равномерную сходимость распределений.

Теорема (Berry-Esséen). Для любого x выполняется |F_n(x) - \Phi(x)| \leq 0.7056 \rho / (\sigma^3 \sqrt{n}).

Реклама